미분 총정리 & 예시 (방정식, 자연로그, 삼각함수, 매개변수, 역삼각함수 등등, 쉽게하는법)

미분이 무엇인지, 어디에 쓰이는지, 공식은 무엇인지 알려드리겠습니다.

 

미분이란 무엇인가.

미분의 정의 자체로만 보자면, 방정식이 그려져 있는 그래프에서 한 지점의 기울기 (m)값을 정확히 얻기 위해 쓰이는 수학적 정리입니다.

단순히 한 지점에서의 기울기를 얻는 것이 아닌, 실제로는 통계학이나, 건축, 로봇 등등 여러 공학에서 쓰이고 있습니다.

y(x) 미분시, Tangent의 공식이 나오고, 이 공식에 A를 넣을시, A에서의 기울기 값이 나온다.

미분은 dy/dx로 정의됩니다. 여기서 d는 difference를 뜻하며, 이런 정의가 가능한 이유는 m (기울기)의 공식에 근거합니다.

m을 찾는 공식은, m=(y1-y2)/(x1-x2), 즉 두 지점간의 y와 x의 차이 (difference)를 이용해 m(기울기) 값을 찾습니다.

여기서 y 와 x의 difference, 즉 차이를 이용해 m을 찾고, 미분도 결국은 m의 값을 알려주기 때문에, dy/dx,

즉 diffference in y / difference in x 를 dy/dx, 미분으로 부르게 된 것입니다.

적분이 궁금하실경우, 아래 링크를 클릭해주세요.

https://yolohehe.tistory.com/64

적분 총정리 & 예시 (방정식, 자연로그, 삼각함수, 부분 적분, 치환적분)

 

순서

1. 상수 또는 1차 방정식

2. 2차 또는 그 이상의 방정식

3. 변수가 1개 이상이거나 분수일때

4. 익스포넨셜 (e)

5. 론 (ln)

6. 삼각함수

7. 음함수 미분법

8. 상수의 x승을 미분하는법

9. 매개변수 방정식

10. 역삼각함수

번외. 미분 쉽게 하는법

공식 정리

1. 상수 또는 1차 방정식을 미분할경우

예시

2. 2차 또는 그 이상의 방정식을 미분할경우

f'(x)는 f(x)를 미분한 값이라는 뜻입니다.

예시

3. 미분 공식에 변수가 1개 이상일 경우 공식을 사용함 (분자, 분모에 변수가 각각 있을경우도 포함)

u, v는 아무거나 될 수 있습니다.

여기서 dv/dx는 v를 미분, du/dx는 u를 미분했다는 뜻입니다.

예시

4. 익스포넨셜 (e)의 경우

예시

5. 론 (ln)의 경우

예시

6. 삼각함수의 경우

삼각함수에 승, 또는 각도에 변수가 있는 경우, 승, 삼각함수, 각도 순으로 계산합니다.

만약 승이 없을경우, 삼각함수와 각도만 계산합니다.

만약 승이 없고 각도가 상수일경우, 삼각함수만 계산합니다.

만약 승, 삼각함수, 각도에 변수가 있다면, 모두 계산합니다.

예시

7. 음함수 미분법

y를 미분할경우, 2번처럼 2차 또는 그 이상의 방정식을 미분하는 법대로 하시면 됩니다.

x와 y가 둘다 공존할경우, 3번의 공식을 이용해 풀으시면 됩니다.

예시

8. a의 x승을 미분할경우 (론을 사용)

론을 이용해 x를 아래로 내리고, 일반 공식 그대로 미분을 해주면 됩니다.

예시

9. 매개변수 방정식을 미분할시

위 공식에 근거, dy/dt 와 dx/dt를 찾아주시고, 하나로 합쳐 dy/dx를 만들어 주시면 됩니다.

예시

10. 역삼각함수 미분시

예시

 

이제부터 쉽게 푸는 법을 알려드리겠습니다.

 

1. 공식을 쉽게 써라

같은 공식이라도 어떻게 쓰느냐에 따라서 더 쉽게 풀 수 있습니다.

예시:

2. 더하기를 기준으로 미분은 분리 할 수 있다.

예로 x^2+2-3x^-1이라는 공식이 있으면, x제곱 미분, 2 미분, 3x에 -1승을 미분 후 하나로 합치면 됩니다.

 

3. x나 y앞의 상수는 무시하고 후에 합쳐라

미분과 적분을 쉽게 하기 위해서는 앞의 상수를 분리해야 합니다.

예로 3x 제곱이라면, 3을 무시하고 x제곱을 미분해준후에, 3을 합쳐주면 됩니다.

즉, 3x제곱 -> 3 (2x) -> 6x 순으로 해주면 됩니다.

 

4. 늘 풀기전에 공식을 단순화해라.

예시:

위와 같이 y=(x+1)/(x^2-1) 이라는 공식을 단순화하면 y=1/(x-1)로 간단하게 바뀝니다.

이걸 기억하고 풀으시면 미분할때도 더 쉽고, 후에 단순화할때도 시간이 단축됩니다.

 

미분에서 더 궁금하신 점이 있으시면 댓글로 남겨주세요!!